Pomoc:Matematické vzorce

	Súčasť série
	Návody a štýl
	Začíname
	Wikipédia:Štylistická príručka
	Wikipédia:Váš prvý článok
	Pomoc:Tabuľky
	Pomoc:Typografia
	Wikipédia:Ako napísať výborný článok
	Pomoc:Kategória
	Články
	Wikipédia:Názov článku
	Wikipédia:Biografia
	Wikipédia:Dobré články
	Wikipédia:Encyklopedický štýl
	Wikipédia:Najlepší článok
	Wikipédia:Neprístojný obsah
	Pomoc:Matematické vzorce
	Pomoc:Obrázok
	Pomoc:Referencie
	Wikipédia:Vyhnite sa vyhýbavým slovám
	Diskusné stránky
	Wikipédia:Diskusná stránka
	Wikipédia:Podpisujte svoje príspevky v diskusiách
	Pozri aj
	Wikipédia:Rozlišovacia stránka
	Wikipédia:Šablóny
	z • d • u

Pomoc:Obsah

Softvér MediaWiki používa na tvorbu matematických vzorcov podmnožinu príkazov jazyka LaTeX a AMSLaTeX. Na základe nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je potom zo zdrojového textu vytvorený matematický vzorec vo formáte HTML (jednoduchšie výrazy) alebo v podobe obrázka PNG (zložitejšie resp. komplexnejšie výrazy). Každý vzorec za zapisuje medzi značky <math> a </math>.

Syntaktické pravidlá[upraviť | upraviť zdroj]

V prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery. Veľkosť medzier medzi jednotlivými znakmi riadi algoritmus. Rovnako sú ignorované konce riadkov. Napríklad zápis

<math> x       +
  y=z        -1 </math>

a zápis

<math> x + y = z - 1 </math>

vedie k rovnakému výsledku $x+y=z-1\,\!$ .

Horné a dolné indexy[upraviť | upraviť zdroj]

Na vytváranie horného indexu slúži znak ^, na dolný index znak _. Ak je index tvorený viacerými znakmi, je potrebné ich umiestniť medzi znaky { a }.

zápis	výstup
`x^2`	$x^{2}\,\!$
`x_1`	$x_{1}\,\!$
`x_1^2`	$x_{1}^{2}\,\!$
`a^{bc}_{de}`	$a_{de}^{bc}\,\!$
`R_i{}^j{}_{kl}`	$R_{i}{}^{j}{}_{kl}\,\!$
`\beta^2`	$\beta ^{2}\,\!$

Príklad:
$ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}$

zápis: ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2

$R_{i}{}^{j}{}_{kl}=g^{jm}R_{imkl}=-g^{jm}R_{mikl}=-R^{j}{}_{ikl}\,\!$

zápis: R_i{}^j{}_{kl} = g^{jm} R_{imkl} = - g^{jm} R_{mikl} = - R^j{}_{ikl}\,\!

Grécke písmená[upraviť | upraviť zdroj]

Grécke písmená sa tvoria pomocou znaku \ nasledovaným názvom písmena v angličtine.

zápis	výstup
`\alpha`	$\alpha \,\!$
`\beta`	$\beta \,\!$
`\gamma`	$\gamma \,\!$
`\delta`	$\delta \,\!$
`\nu`	$\nu \,\!$
`\mu`	$\mu \,\!$

To isté platí aj pre veľké písmená, ale po znaku \ nasleduje názov s veľkým začiatočným písmenom.

zápis	výstup
`\Gamma`	$\Gamma \,\!$
`\Delta`	$\Delta \,\!$
`\Theta`	$\Theta \,\!$
`\Omega`	$\Omega \,\!$
`\Pi`	$\Pi \,\!$
`\Sigma`	$\Sigma \,\!$

Niektoré grécke písmená majú dva varianty, aby napr. nedochádzalo k zámene s inými znakmi (napr. $\epsilon \,\!$ a $\in$ )

zápis	výstup
`\rho \varrho`	$\rho \varrho \,\!$
`\phi \varphi`	$\phi \varphi \,\!$
`\epsilon \varepsilon`	$\epsilon \varepsilon \,\!$
`\pi \varpi`	$\pi \varpi \,\!$
`\sigma \varsigma`	$\sigma \varsigma \,\!$

Diakritické znamienka[upraviť | upraviť zdroj]

V matematickom móde nie je možné používať priamo diakritické znamienka (konverzia vzorca skončí neúspešne). Vhodné sú na rozlišovanie premenných a veličín (napr. ${\dot {V}}\,\!$ a $V\,\!$ )

zápis	výstup
`\acute{a}`	${\acute {a}}\,\!$
`\grave{a}`	${\grave {a}}\,\!$
`\hat{a}`	${\hat {a}}\,\!$
`\check{a}`	${\check {a}}\,\!$
`\tilde{a}`	${\tilde {a}}\,\!$
`\breve{a}`	${\breve {a}}\,\!$
`\bar{a}`	${\bar {a}}\,\!$
`\dot{a}`	${\dot {a}}\,\!$
`\ddot{a}`	${\ddot {a}}\,\!$
`\vec{a}`	${\vec {a}}\,\!$

Špeciálne písmená[upraviť | upraviť zdroj]

Príklady pre množiny, švabach a hebrejčinu.

zápis: x\in\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

vytvorí: $x\in \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

zápis: \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0

vytvorí: $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =0$

zápis: \aleph \beth \gimel \daleth

vytvorí: $\aleph \beth \gimel \daleth$

zápis: \mathcal{ABCDE}

vytvorí: ${\mathcal {ABCDE}}$

zápis: \mathfrak{aAbBcC}

vytvorí: ${\mathfrak {aAbBcC}}$

Diakritika[upraviť | upraviť zdroj]

Ak vložíte do <math> nie-ASCII znak, objaví sa na výstupe červená chybová hláška. Diakritiku je ale možné vložiť pomocou príkazov TeX-u:

${\acute {a}}\quad {\check {a}}\quad {\grave {a}}\quad {\breve {a}}\quad {\tilde {a}}\quad {\hat {a}}$

zápis: \acute{a} \quad \check{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \tilde{a} \hat{a}

Funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Názov funkcie sa nepíše pomocou kurzívy ako premenná, ale stojatým písmom. Pre väčšinu matematických funkcií jestvuje príkaz.

zápis	výstup	zápis	výstup
`\sin x`	$\sin x\,\!$	`\ln x`	$\ln x\,\!$
`\cos \alpha`	$\cos \alpha \,\!$	`\log (x+1)`	$\log(x+1)\,\!$
`\tan x`	$\tan x\,\!$	`\max (1,2,3)`	$\max(1,2,3)\,\!$
`\arcsin x`	$\arcsin x\,\!$	`\exp (2\pi r)`	$\exp(2\pi r)\,\!$

Príklad: $\sin x+\ln y+\operatorname {sgn} z\,\!$

zápis: \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z

Zátvorky a absolútna hodnota[upraviť | upraviť zdroj]

$\|f\|=\inf\{K\in [0,+\infty ):|f(x)|\leq K\|x\|{\mbox{ for all }}x\in X\}$

zápis: \|f\| = \inf \{ K \in [0,+\infty) : |f(x)| \leq K \|x\| \mbox{ for all } x \in X \}

$f(x,y,z)=3y^{2}z\left(3+{\frac {7x+5}{1+y^{2}}}\right)$

zápis: f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right)

Zlomky[upraviť | upraviť zdroj]

Zlomky sa vytvárajú pomocou príkazu \frac{<čitateľ>}{<menovateľ>}. Zátvorky okolo zlomkov sa tvoria pomocou príkazov \left( a \right) (prípadne \left\{ a \right\} a pod.)

zápis	výstup
`\frac{x-y}{(x+y)^2}`	${\frac {x-y}{(x+y)^{2}}}\,\!$
`\left(\frac {1}{x}\right)^2`	$\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\!$
`\left[\frac{2x}{y+1}\right]`	$\left[{\frac {2x}{y+1}}\right]\,\!$
`\frac{x+1}{y-1}`	${\frac {x+1}{y-1}}\,\!$

Príklad: $f(x)=2x+{\frac {x-7}{x^{2}+4}}$ zápis: f(x) = 2x + \frac{x - 7}{x^2 + 4}

Odmocniny[upraviť | upraviť zdroj]

Druhá odmocnina sa zapisuje pomocou príkazu \sqrt. Vyššie odmocniny sa zapisujú pomocou príkazu \sqrt[], pričom v hranatých zátvorkách sa uvádza odmocnina.

zápis	výstup
`\sqrt x`	${\sqrt {x}}\,\!$
`\sqrt{(a+b)^2}`	${\sqrt {(a+b)^{2}}}\,\!$
`\sqrt[3]{a}`	${\sqrt[{3}]{a}}\,\!$
`\sqrt{\frac{x+1}{y-1}}`	${\sqrt {\frac {x+1}{y-1}}}\,\!$

Príklad:

${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

zápis: \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

${\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}-p^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}-p^{3}}}}}$

zápis: \sqrt[3]{q + \sqrt{ q^2 - p^3 }} + \sqrt[3]{q - \sqrt{ q^2 - p^3 }}

Integrály[upraviť | upraviť zdroj]

Pre znak integrálu je jestvuje príkaz \int, pričom na zápis rozsahu integrovania sa používa horný a dolný index. Na zápis derivácie sa používa stojaté písmo (\mathrm{d}) a obvykle sa od predchádzajúceho výrazu oddeľuje zúženou medzerou (\,).

zápis: \int_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

vytvorí: $\int _{a}^{b}e^{x}\,\mathrm {d} x$

zápis: \oint_{C} x^3\, \mathrm{d}x + 4y^2\, \mathrm{d}y

vytvorí: $\oint _{C}x^{3}\,\mathrm {d} x+4y^{2}\,\mathrm {d} y$

zápis: \iint_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

vytvorí: $\iint _{a}^{b}e^{x}\,\mathrm {d} x$

Príklad:

$\int _{-N}^{N}e^{x}\,\mathrm {d} x$

zápis: \int_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x

Derivácie[upraviť | upraviť zdroj]

V slovenskej (a českej) notácii býva zvykom písať diferenciály „rovné“ pomocou \mathrm{} ako

$\mathrm {d} x\,$ zápis: \mathrm{d}x,

čiže napr. pre deriváciu f podľa x

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,$

zápis: \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}

Suma a limita[upraviť | upraviť zdroj]

Ako znak sumy slúži príkaz \sum a pre produkt súčinu príkaz \prod. Horná a dolná medza sa zapisuje pomocou horného a dolného indexu.

zápis: \sum_{i=1}^n x^2 vytvorí: $\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

zápis: \prod_{i=1}^n x_i vytvorí: $\prod _{i=1}^{n}x_{i}$

Limita sa zapisuje pomocou príkazu \lim s dolným indexom (príkaz \to vytvorí šípku).

zápis: \lim_{n \to \infty}x_n

vytvorí: $\lim _{n\to \infty }x_{n}$

Príklad:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$ zápis: \lim_{n \to \infty}x_n

$\sum _{k=1}^{N}k^{2}$ zápis: \sum_{k=1}^N k^2

$\prod _{i=1}^{N}x_{i}$ zápis: \prod_{i=1}^N x_i

Matice[upraviť | upraviť zdroj]

zápis	výstup
`\begin{matrix} x & y \\ z & v \end{matrix}`	${\begin{matrix}x&y\\z&v\end{matrix}}$

`\begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix}`	${\begin{pmatrix}x&y\\z&v\end{pmatrix}}$

`\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}`	${\begin{vmatrix}x&y\\z&v\end{vmatrix}}$

`\begin{Vmatrix} x & y \\ z & v \end{Vmatrix}`	${\begin{Vmatrix}x&y\\z&v\end{Vmatrix}}$

`\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}`	${\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}$

`\vec a\times \vec b = \det\begin{pmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ a_x & a_y &a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{pmatrix}`	${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\det {\begin{pmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{pmatrix}}$

Príklad:

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$ ${\begin{vmatrix}\lambda -a&-b&-c\\-d&\lambda -e&-f\\-g&-h&\lambda -i\end{vmatrix}}$ ${\begin{matrix}{\mbox{Prve cislo}}&x&8\\{\mbox{Druhe cislo}}&y&15\\{\mbox{Sucet}}&x+y&23\\{\mbox{Rozdiel}}&x-y&-7\\{\mbox{Sucin}}&xy&120\end{matrix}}$

zápis: \begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix}

       \begin{vmatrix}\lambda - a & -b & -c \\-d & \lambda - e & -f \\-g & -h & 
       \lambda - i \end{vmatrix}
       \begin{matrix}\mbox{Prve cislo} & x & 8 \\\mbox{Druhe cislo} & y & 15 \\
       \mbox{Sucet} & x + y & 23 \\\mbox{Rozdiel} & x - y & -7 \\
       \mbox{Sucin} & xy & 120 \end{matrix}

$f(n)=\left\{{\begin{matrix}n/2,&{\mbox{ ak }}n{\mbox{ je neparne}}\\3n+1,&{\mbox{ ak }}n{\mbox{ je parne}}\end{matrix}}\right\}\,\!$

zápis: f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{ ak }n\mbox{ je neparne} \\ 3n+1,

& \mbox{ ak }n\mbox{ je parne}\end{matrix}\right\\,\!}

Špeciálne znaky[upraviť | upraviť zdroj]

zápis	výstup	zápis	výstup
`\sim`	$\sim \,\!$	`\leftarrow`	$\leftarrow \,\!$
`\approx`	$\approx \,\!$	`\rightarrow`	$\rightarrow \,\!$
`\simeq`	$\simeq \,\!$	`\to`	$\to \,\!$
`\cong`	$\cong \,\!$	`\not\to`	$\not \to \,\!$
`\dot=`	${\dot {=}}\,\!$	`\leftrightarrow`	$\leftrightarrow \,\!$
`\le`	$\leq \,\!$	`\Leftarrow`	$\Leftarrow \,\!$
`\ge`	$\geq \,\!$	`\Rightarrow`	$\Rightarrow \,\!$
`\gg`	$\gg \,\!$	`\Leftrightarrow`	$\Leftrightarrow \,\!$
`\ll`	$\ll \,\!$	`\infty`	$\infty \,\!$
`\equiv`	$\equiv \,\!$	`\times`	$\times \,\!$
`\ne`	$\neq \,\!$	`\cdot`	$\cdot \,\!$
`\propto`	$\propto \,\!$	`\pm`	$\pm \,\!$
`\hbar`	$\hbar \,\!$	`\nabla`	$\nabla \,\!$
`\partial`	$\partial \,\!$	`\emptyset`	$\emptyset \,\!$

Medzery[upraviť | upraviť zdroj]

V prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery, pretože sádzací program ich volí podľa vlastného algoritmu. Tento algoritmus pracuje väčšinou správne, ale niekedy je nutné si medzeru vynútiť. K dispozícii je viacero veľkostí medzier.

medzera	ukážka	poznámka
`a\qquad b`	$a\qquad b\,\!$
`a\quad b`	$a\quad b\,\!$
`a\ b`	$a\ b\,\!$	medzislovná medzera
`a\; b`	$a\;b\,\!$
`a\, b`	$a\,b\,\!$	zúžená medzera
`a\! b`	$a\!b$	záporná medzera

Typografia vzorcov[upraviť | upraviť zdroj]

Pri tvorbe matematických vzorcov je vhodné dodržiavať niektoré pravidlá, ktoré zlepšujú ich interpretáciu a estetiku.

Znak násobenia

ako znak násobenia nie je dobré používať bodku na úrovni riadku (a.b), ale bodku v strede riadku (a\cdot b) alebo krížik (a\times b).

Derivácia

v slovenskej typografii (na rozdiel od anglosaskej) je zvykom písať znak derivácie „d“ stojatým písmom (pre rozlíšenie od premennej, ktorá sa píše kurzívou). Do stojatého písma sa prepína pomocou príkazu \mathrm{...}. Píšeme teda \mathrm{d}x a získame

\mathrm {d} x\,\!

Fyzikálne jednotky

podobne ako derivácia sa značky fyzikálnych jednotiek píšu stojatým písmom a od číselnej hodnoty sa oddeľujú zúženou medzerou \,. Píšeme teda m = 5\,\mathrm{kg} a získame

m=5\,\mathrm {kg}

Desatinná čiarka

program LaTeX používa ako desatinný oddeľovač bodku (3.14), v slovenskej typografii to je čiarka, za ktorú však LaTeX automaticky vkladá medzeru. To sa dá potlačiť umiestnením čiarky do zátvoriek. Píšeme teda \pi = 3{,}14 a získame

\pi =3{,}14\,\!

Písanie slov

v prostedí math je každé písmeno chápané ako premenná, preto je sádzané kurzívou a navyše sú ignorované všetky medzery (ak n>2, potom vytvorí

akn>2,potom\,\!

). Je potrebné používať prostredie \mbox{}.
Píšeme teda (pozor na medzery!) \mbox{ak }n>2\mbox{, potom...} a získame

{\mbox{ak }}n>2{\mbox{, potom...}}\,\!

Indexy

veľmi často sa dolný index používa na rozlíšenie veličín (t – čas; t_P – Planckov čas). Je vhodné, aby index, ktorý reprezentuje len skratku, bol sádzaný stojatým písmom. Píšeme teda

h_{\mathrm{max}} a získame

h_{\mathrm {max} }\,\!

,

T_{\mathrm{v}} a získame

T_{\mathrm {v} }\,\!

(teplota varu),

ale píšeme C_p a získame

C_{p}\,\!

(p – značka tlaku kurzívou)

Funkcie

názvy funkcií (napr. sin, cos, ...) nepíšeme kurzívou (napr. sin x), pretože sin x vytvorí

sinx\,\!

, čo sa dá intepretovať aj ako súčin premenných s, i, n a x.
Používame pripravené príkazy \sin, \cos, \log, ...

Vkladanie formátovacích znakov[upraviť | upraviť zdroj]

Pri tvorbe matematických vzorcov je potrebné používať niektoré znaky, ktoré sa nenachádzajú na bežnej slovenskej klávesnici. Je však možné ich vkladať pomocou tzv. alt kódov (klávesa alt (resp. alt gr) + číslo).

znak	alt kód	alternatíva
`\`	alt + 92	alt + q
`^`	alt + 94	alt + 3 a potom medzera
`_`	alt + 95	shift + -
`[`	alt + 91	alt + f
`]`	alt + 93	alt + g
`{`	alt + 123	alt + b
`}`	alt + 125	alt + n
`<`	alt + 60	alt + ,
`>`	alt + 62	alt + .

Vykresľovanie vzorcov[upraviť | upraviť zdroj]

Na základe používateľských nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je vytvorený buď vzorec vo formáte HTML alebo vo formáte PNG. Niekedy však vzorec vo formáte PNG ponúka uspokojivejší výsledok. V takom prípade je možné si PNG formát vynútiť príkazom \,\! umiestneným na konci či začiatku vzorca (ide o príkaz pre zúženú medzeru „neutralizovaný“ zápornou medzerou rovnakej veľkosti).

zápis	výstup
`abc`	$abc$
`abc\,\!`	$abc\,\!$
`a^2 + b^2 = c^2`	$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
`a^2 + b^2 = c^2\,\!`	$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,\!$

Pozn.: V tomto návode boli pre jednotnosť všetky vzorce vynútené ako PNG pomocou spomenutého mechanizmu.

Ukážky hotových vzorcov[upraviť | upraviť zdroj]

zápis	výstup
`x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}`	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,\!$

`x^n + y^n = z^n\quad(n>3;\ x,y,z \in \mathbb{N})`	$x^{n}+y^{n}=z^{n}\quad (n>3;\ x,y,z\in \mathbb {N} )\,\!$

`\sqrt[n+1]{x_1+ \cdots + x_n}`	${\sqrt[{n+1}]{x_{1}+\cdots +x_{n}}}\,\!$

`p_1 V_1 = p_2 V_2 \quad (T = \mathrm{const})`	$p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}\quad (T=\mathrm {const} )$

`\int^\infty_0 f(x)\,\mathrm{d}x`	$\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$

`x + y = \max\{x,y\} +\min\{x,y\}`	$x+y=\max\{x,y\}+\min\{x,y\}\,\!$

`\sin 18^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt 5 - 1)`	$\sin 18^{\circ }={\frac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)\,\!$

`f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right)`	$f(x,y,z)=3y^{2}z\left(3+{\frac {7x+5}{1+y^{2}}}\right)\,\!$

`n \choose k/2`	$n \choose k/2\,\!$

`f(n) = \begin{cases} n/2, & \mathrm{ak}\ n \ \mathrm{p\acute{a}rne} \\ 3n+1, & \mathrm{ak}\ n\ \mathrm{nep\acute{a}rne} \end{cases}`	$f(n)={\begin{cases}n/2,&\mathrm {ak} \ n\ \mathrm {p{\acute {a}}rne} \\3n+1,&\mathrm {ak} \ n\ \mathrm {nep{\acute {a}}rne} \end{cases}}$